Магия тензорной алгебры: Часть 1 — Что такое тензор и для чего...

Магия тензорной алгебры: Часть 1 — Что такое тензор и для чего он нужен?

708

Введение
Это было давным-издавна, когда я обучалась в десятом классе. Посреди достаточно скудных в научном плане Фонд районной библиотеке мне попалась книжка — Угаров в. А. К примеру, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела, гордо именуемый тензор инерции. Тем не наименее, эту книжку я читать не мог, по той причине, что большая часть уравнений представлены в виде тензорных соотношений. Эта тема меня заинтриговала, но инфы, школьных учебниках и справочниках не довольно. «особая теория относительности». Позднее, в институте, программа обучения в моем районе не предугадывала исследование тензорного исчисления, хотя плохо осознавал, термин «тензор» всплывают достаточно нередко в неких особых курсов.
В технарь довольно тяжело переварить серьезный абстрактный язык незапятанной арифметики. Погружение в профессиональную литературу не принес просветления. Может быть, мои рассуждения покажутся простыми и упрощенными, но осознание хоть какой сложной вещи, направленные на развертывание в процессе эксплуатации обычных понятий, потому давайте начнем. Тем не наименее, время от времени я ворачивался к этому вопросцу, и сейчас, спустя практически шестнадцать лет на просветление, и пойдет речь под катом.

Вектор в плоскости. 1. Контравариантные, ковариантные координаты и связь
меж ними
Разглядим вектор, и без утраты общности наших рассуждений, разглядим вектор данной плоскости. Как мы знаем из школьного курса геометрии, хоть какой вектор может быть задан на плоскости с помощью 2-ух неколлинеарных векторов

Фиг. 1. Косой вектор в координатной плоскости
Геометрически
это можно изобразить, как показано на рисунке 1. Указанный базе наборов косая система координат на плоскости, с осями (U,в). Векторы позвонил на базу, угол меж ними, при условии может быть произвольным, произвольным, так как ненулевой длины базовых векторов. Тут — коэффициенты линейного расширения, (под vechnim индекс следует осознавать число компонент и не восстание мощность), именуются контравариантными координатами вектора.
На базе рис. 1, длины отрезков OA1 и OA2 равны

Несложно созидать, что эти проекции равны Вообщем, это не единственный метод определения вектора в данной системе координат. Его можно также задать в ортогональных проекциях на осях (U, в).

С иной стороны, выражают длины этих проекций через длины векторов базиса таковым образом

где и — ковариантные координаты вектора .
Сопоставление (3), (5) и (4), (6),

Умножим (7) и (8) на и конвертировать их

Введем матрицы

тогда (9) и (10) может быть выражена последующим соотношением

Выражение (12) дает связь меж ковариантными контравариантные координаты вектора, определяемого матрицей г, которая зависит от длины и взаимного расположения базовых векторов. Пока я не буду интерпретировать эти результаты, но просто запомните это.
Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сущности, набор в избранной базе 1-го и того же вектора. При использовании контравариантные координаты этого вектора задается матрица-столбец

и ковариат в виде матрицы-строчки

2. Скалярное произведение
Давайте перейдем в место наиболее высочайшей размерности и разглядим два вектора

где-базовые векторы как указано выше , не ноль, не являющихся компланарными векторами. Перемножим векторы скалярных

В крайнее выражение будет аккуратненько раскрыть скобки

и опять, введем матрицы

и тогда скалярное произведение можно свернуть чрезвычайно малогабаритном виде

1-ое, что Вы заметите, когда вы уменьшаете число измерений места мы получаем из (14) в (11) и выражение (15) будет работать и давать sclarea произведение 2-ух векторов на плоскости. Пристально смотря в (15) мы сообразили одно Итак, у нас есть некие обобщающие форма записи операции скалярного умножения, не в зависимости от размерности места, либо от базы, все характеристики которых собраны в матрицу г.

это ничто другое, как ковариантные координаты вектора. То есть
(15) можно переписать

Но это еще не предел упрощения
3. На Эйнштейна правило
Хитрецкий и чуткий Альберт Эйнштейн выдумал правило суммирования, как и в выражениях (17), сбрасывая арифметики от раздражающих и резервированием. В выражениях (16) и (17) можно опускать символ суммы, подразумевая суммирование по поводу неоднократного индекс, который именуется «немой». То есть (16) перепишем так

Как правило, этот индекс должен чередовать свои позиции — раз 1-ый множитель равен он внизу, то 2-ой должен быть в верхней и напротив. тут Дж — это индекс, по которому суммирования. Выражение (17) будет смотреться так

Ну, (15) приходят на разум

И сейчас мы лицезреем, для чего необходимо было таковой огород забором.
Анализ обычных примерах 4.
Представим, что наша база — decarta в, т. Тогда матрица г становится сингулярной orthonormally. е.

Квадрат длины вектора-это скалярное произведение вектора на себя, то есть Пусть вектор указанных в данной базе.

И у нас есть… квадрат длины вектора определены в прямоугольной системе координат!
Пусть в системе координат, как это показано на рисунке 1, и вектор его контравариантными координатами. Еще один пример, что это не торговый комплекс serramonte который будет работать в 2-ух измерениях. Потом

где — угол меж базовыми векторами. Вычислить длину вектора

Точно таковой же итог мы получим, раз пользоваться законом косинусов и находим квадрат длины диагонали параллелограмма.
Базе определяются определенные значения компонентов матрицы г. И это совсем не зависит ни от базы, ни на количество измерений места, в котором мы работаем. Каковой итог? Работая в различных системах координат, мы употребляли единый уравнение (20) для вычисления скалярного произведения.
е. не зависит от избранного базиса виде. Итак, уравнение (20) выражает скалярное произведение 2-ух векторов тензора, т.
Это частично описывает, как выбраны координаты для вычисления расстояния меж 2-мя точками. Матрица г определяется так именуемый метрический тензор.
Следует осознавать, что математическая форма, в этом случае квадратная матрица, содержащая набор компонентов, это не тензор. Понятие тензора незначительно шире, и до этого чем мы скажем, что такое тензор, мы разглядим иной вопросец. Но почему мы называем эту матрицу тензора?
Преобразования компонент метрического тензора при изменении базиса 5.
Перепишем соотношение(20) в матричной форме, так легче будет ими управлять

Конвертировать вектор в некой иной системе координат СК1 описывается с помощью матрицы преобразования , то есть где с есть скалярное произведение. Верхний индекс значит систему координат, которая задает векторы и определяются метрическим тензором. Молвят эта система координат СК.

Подставим (22) в (21)

в крайнее выражение

То есть в новейшей базе операции имеет аналогичную форму метрический тензор, составляющие которого определяются новейшей базе.

Так что сейчас мы можем огласить, что тензор-это математический объект, представленный набором компонентов и правила их преобразования при смене базе. Таковым образом, мы доказали еще одно свойство тензора — составляющие меняются синхронно с компонентами векторов места, которая описывает тензор.
Сейчас, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид где — элементы матрицы.

Опишем преобразования компонент метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам K И И Л В (25)

Откуда видно, что в (25) транспонированная матрицы перехода, умножив итог на метрический тензор и умножить полученную матрицу на матрицу перехода.
Сейчас разглядим определенный пример, на плоскости, не писать очень массивные вычисления

Связь прямоугольных координат с косой. Фиг. 2.
Преобразование из прямоугольной системы координат в перекос матрицы выражается Пусть вектор набор нормализованных в 2-ух базах: прямоугольная и косой.

обратное преобразование

Пусть также, в прямоугольных координатах, вектор имеет составляющие

и достаточно просто осознать, что длина его. Метрического тензора в ортонормированном базисе представляется единичная матрица

так

Мы установим угол наклона осей и рассчитать контравариантные составляющие вектора в косой оси

,
естественно, беря во внимание, что составляющие матрицы обратных преобразований .
Совместно с тем вектором, который вы желаете преобразовать и метрический тензор

Сейчас вычислим длину вектора в новейшей базе

Таковым образом, мы употребляли в основном те же соотношения (20) работать в различных базах, пре-преобразование метрического тензора в согласовании с правилом преобразования векторов в пространстве (25). это и скалярное произведение и длина вектора инвариантна, то есть неизменна при координатной трансформации, как и обязано быть.
Резюме и выводы
То, что мы лицезрели в прошлом пт? Не считая того, соотношение (20), (24) и (25) дают нам метод и способ преобразования компонент выражения, используемые в методе. Это мощь и силу тензорного подхода. Раз характеристики места, которое употребляется для определения векторов известен, то для нас это не трудно делать, строго формальным образом, деяния над векторами, используя соотношение, что форма места независящих.
В искривленном пространстве-времени, метрический тензор, определенный локально в каждой точке, и раз вы попытаетесь обойтись без тензоров, мы не получим его, мы получим массивные и неповоротливые уравнений, раз вы получаете их вообщем. Множество физических теорий, таковых как Общественная теория относительности, работать на искривленное место-время, и там иной подход просто неприемлем.
В прикладных областях науки тензорную запись выражений используются везде, где нужно вывести уравнение, которое не зависит от используемой системы координат.
О этом будет написано позднее, а пока — спасибо всем моим читателям за внимание. ‘т говорили о ранге тензоры и операции с ними, не соображают правила индексации компонентов тензоров и почти все другое. Но это еще не все. Мы говорили о свойствах метрического тензора, не учитывается векторный продукт и тензор Леви-Cevita.

Продолжение следует… habrahabr.ru